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Nella mwcwteoria degli insiemi si indica con mwdainsieme vuoto quel particolare mwdqinsieme che non contiene alcun mwdgelemento.

Nella mweateoria assiomatica degli insiemi l'mweqassioma dell'insieme vuoto ne postula l'esistenza. Partendo da questo sono costruiti tutti gli insiemi finiti. L'insieme vuoto è chiamato talvolta anche mweginsieme nullo, ma ciò può creare confusione con il concetto esposto nella voce mwewinsieme nullo, argomento studiato in mwfateoria della misura.

Diverse proprietà insiemistiche sono mwfgbanalmente vere per l'insieme vuoto.

• Notazione

• Proprietà

• Problemi comuni

• Teoria assiomatica degli insiemi

• Esiste, o è necessario?

• Operazioni sull'insieme vuoto

• Estremi

• L'insieme vuoto e lo zero

• Teoria delle categorie

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Solitamente l'insieme vuoto è indicato col simbolo mwgg { } {\displaystyle \{\}} , mwgw ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } , ∅ oppure mwha ∅ ∅ {\displaystyle \emptyset } , usato per la prima volta dal gruppo di mwhqmatematici, principalmente mwhgfrancesi, dell'inizio del mwhwXX secolo che scrivevano sotto lo mwiapseudonimo collettivo di mwiqNicolas Bourbaki (in particolare, fu il matematico mwigAndré Weil ad introdurlo nel mwiw1939cite-ref-jeff-1-0[1]). Non deve essere confuso con la mwkalettera greca mwkqΦ (phi) o con la vocale scandinava mwkgØø (sebbene Weil si sia ispirato proprio a questa)cite-ref-jeff-1-1[1].

Si noti che la notazione {mwma ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } } indica l'insieme che contiene l'insieme vuoto e va pertanto non confusa con il semplice insieme vuoto mwmq ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } .

Per notare meglio le differenze tra i vari simboli, li si osservi uno a fianco all'altro: ∅ Øø Φ - il simbolo di insieme vuoto è basato su un mwmwcerchio, mentre la lettera scandinava è più simile a un ovale, come la lettera mwnaO; infine la barra della Φ è verticale e non obliqua.

• l'insieme vuoto è un mwoasottoinsieme di ogni insieme mwoqA: mwogmwowmwpa ∀ ∀ A : A ⊇ ⊇ ∅ ∅ {\displaystyle \forall A:A\supseteq \varnothing }

• l'mwpgunione di un qualunque insieme mwpwA con l'insieme vuoto è mwqaA: mwqqmwqgmwqw ∀ ∀ A : A ∪ ∪ ∅ ∅ = A {\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}

• l'mwrqintersezione di un qualunque insieme mwrgA con l'insieme vuoto è l'insieme vuoto: mwrwmwsamwsq ∀ ∀ A : A ∩ ∩ ∅ ∅ = ∅ ∅ {\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }

• il mwswprodotto cartesiano di un qualunque insieme mwtaA con l'insieme vuoto è l'insieme vuoto: mwtqmwtgmwtw ∀ ∀ A : A × × ∅ ∅ = ∅ ∅ {\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }

• l'unico sottoinsieme dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto stesso: mwuqmwugmwuw ∀ ∀ A : A ⊆ ⊆ ∅ ∅ ⟹ ⟹ A = ∅ ∅ {\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing }

• il numero di elementi dell'insieme vuoto (vale a dire la sua mwvqcardinalità) è mwvgzero; l'insieme vuoto è quindi mwvwfinito: mwwamwwqmwwg | ∅ ∅ | = 0 {\displaystyle |\varnothing |=0}

• data una proprietà qualunque:

• per ogni elemento di mwxg ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } la proprietà è valida; [[vacuous truth]]

• non esistono elementi di mwya ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } per cui la proprietà vale;

• allo stesso modo, se per una qualche proprietà valesse che:

• per ogni elemento di A la proprietà è valida;

• non ci sono elementi di A per cui la proprietà vale;

allora mwzw A = ∅ ∅ {\displaystyle A=\varnothing } .

Poiché l'insieme vuoto è unico si parla mwaqdell'insieme vuoto e non mwagdi un insieme vuoto. Nella mwawteoria degli insiemi, infatti, due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, quindi ci può essere un solo insieme senza elementi.

Considerato come sottoinsieme della mwbqretta reale (o, più in generale, di un qualsiasi mwbgspazio topologico), l'insieme vuoto è sia mwbwchiuso che mwcaaperto. Tutti i suoi mwcqpunti frontiera (cioè nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che perciò è chiuso; ma anche tutti i suoi mwcgpunti interni (ancora una volta nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che dunque è anche aperto. Inoltre l'insieme vuoto è un mwcwinsieme compatto per il fatto che ogni mwdainsieme finito è compatto.

La mwdgchiusura dell'insieme vuoto è vuota. Questo fatto è noto come "conservazione dell'mwdwunione nulla".

Il concetto di insieme vuoto non è la stessa cosa che il concetto di mwegniente. È un insieme che non contiene niente al suo mwewinterno, ma un insieme è mwfaqualcosa. Questo fatto spesso causa difficoltà a chi lo incontra per la prima volta. Può essere d'aiuto immaginare un insieme come un contenitore di oggetti: un contenitore vuoto è vuoto, eppure certamente esiste.

L'insieme vuoto è un mwfgsottoinsieme di un qualunque insieme mwfwA. Per definizione di mwgasottoinsieme, si ha che per mwgqogni elemento mwggx di {}, mwgwx appartiene ad mwhaA. Se non fosse vero che ogni elemento di {} si trova in mwhqA, allora dovrebbe esistere almeno un elemento di {} che non è presente in mwhgA. Ma dal momento che mwhwnon ci sono elementi in {}, allora non esiste alcun elemento di {} che non sta in mwiaA, e dunque si può concludere che ogni elemento di {} si trova in mwiqA e quindi {} è un sottoinsieme di mwigA. Questo concetto è spesso parafrasato con "tutto è vero per gli elementi dell'insieme vuoto" e può essere visto come una applicazione della regola logica "mwiwex falso quodlibet".

Nella mwjgteoria assiomatica degli insiemi nota come mwjwteoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'esistenza dell'insieme vuoto è assicurata dall'mwkaassioma dell'insieme vuoto. L'unicità dell'insieme vuoto segue dall'mwkqassioma di estensionalità.

Ogni assioma che stabilisce l'esistenza di un qualunque insieme implica l'assioma dell'insieme vuoto, utilizzando lo mwkwschema di assiomi di specificazione. Per esempio, se mwla A {\displaystyle A} è un insieme, allora lo schema di assiomi di separazione permette la costruzione dell'insieme mwlq B = { ∀ ∀ x ⊂ ⊂ A : x ≠ ≠ x } {\displaystyle B=\left\{\forall x\subset A:x\neq x\right\}} , che può essere definito come l'insieme vuoto.

Sebbene l'insieme vuoto sia un concetto standard ed universalmente accettato in matematica, esistono persone che ancora manifestano qualche dubbio.

Jonathan Lowe ha affermato che anche se l'idea "è stata certamente una pietra miliare nella storia della matematica, … non dobbiamo assumere che la sua utilità nei calcoli sia dipendente dal suo denotare effettivamente un qualche oggetto". Non è chiaro se tale idea abbia un senso. "Tutto ciò di cui siamo a conoscenza riguardo all'insieme vuoto è che (1) è un insieme, (2) non ha elementi, e (3) è unico tra tutti gli insiemi che non hanno elementi. Però esistono molte cose che "non hanno elementi" nel senso della teoria degli insiemi — e cioè tutti i non-insiemi. È chiaro il motivo per cui questi oggetti non hanno elementi: perché non sono insiemi. Ciò che non è chiaro è come possa esistere, in modo univoco tra gli insiemi, un mwmginsieme che non ha elementi. Non possiamo evocare una tale entità semplicemente per accordo".

[[Jonathan Lowe]] has argued that while the idea "was undoubtedly an important landmark in the history of mathematics, … we should not assume that its utility in calculation is dependent upon its actually denoting some object." It is not clear that such an idea makes sense. "All that we are ever informed about the empty set is that it (1) is a set, (2) has no members, and (3) is unique amongst sets in having no members. However, there are very many things that 'have no members', in the set-theoretical sense—namely, all non-sets. It is perfectly clear why these things have no members, for they are not sets. What is unclear is how there can be, uniquely amongst sets, a ''set'' which has no members. We cannot conjure such an entity into existence by mere stipulation."

In seguito George Boolos, in "To be is to be the value of a variable…", mwnqJournal of Philosophy, mwng1984 (ristampato nel suo libro mwnwLogic, Logic and Logic), ha detto che si può fare molta strada utilizzando semplicemente la quantificazione multipla sugli oggetti, senza reificare gli insiemi come singole entità che hanno altre entità come membri.

In "To be is to be the value of a variable…", [[Philosophy Journals|Journal of Philosophy]], 1984 (reprinted in his book ''Logic, Logic and Logic''), the late [[George Boolos]] has argued that we can go a long way just by [[plural quantification|quantifying plurally]] over individuals, without [[reification|reifying]] sets as singular entities having other entities as members.

In un libro recente mwowTom McKay ha espresso un'opinione negativa riguardo all'assunzione "singolarista" che le espressioni naturali che usano il plurale possano essere analizzate utilizzando surrogati del plurale, come i simboli per gli insiemi. Egli appoggia una teoria anti-singolarista che differisce dalla teoria degli insiemi nel fatto che non esiste l'analogo dell'insieme vuoto, ed esiste una sola relazione, mwpafra (mwpqamong in inglese), che è analoga sia al concetto di appartenenza che a quello di inclusione.

Le operazioni sull'insieme vuoto (inteso come insieme di oggetti sui quali si effettua l'operazione) possono creare confusione. Per esempio, la mwqasomma degli elementi dell'insieme vuoto è mwqqzero, ma la mwqgmoltiplicazione degli elementi dell'insieme vuoto è mwqwuno (è il mwraprodotto vuoto). Questo fatto può sembrare sbagliato, dato che non ci sono elementi nell'insieme vuoto, e quindi sembra che non possa fare differenza se essi sono sommati o moltiplicati (dato che “essi” non esistono). In effetti, i risultati di queste operazioni rivelano di più sulle operazioni stesse di quanto non facciano sull'insieme vuoto. Per esempio, si noti che lo zero è l'mwrqelemento neutro per l'addizione, mentre l'uno è l'elemento neutro per la moltiplicazione.

Dato che l'insieme vuoto non ha elementi, quando viene considerato come sottoinsieme di un qualunque mwsainsieme ordinato risulta che ogni elemento di quell'insieme è sia un mwsqmaggiorante che un mwsgminorante per l'insieme vuoto. Per esempio, quando l'insieme vuoto viene considerato un sottoinsieme dei numeri reali, con l'ordinamento usuale, risulta che ogni numero reale è sia maggiorante che minorante per esso. Quando viene considerato come sottoinsieme dei mwswnumeri reali estesi (formati aggiungendo i due "numeri" (o punti) "meno infinito", indicato con mwta − − ∞ ∞ {\displaystyle -\infty } e "più infinito", indicato con mwtq + ∞ ∞ {\displaystyle +\infty } ai numeri reali, definiti in modo tale che mwtg − − ∞ ∞ {\displaystyle -\infty } è minore di qualunque numero reale e mwtw + ∞ ∞ {\displaystyle +\infty } è maggiore di qualunque numero reale) si ha che:

mwug sup ( ∅ ∅ ) = min ( { − − ∞ ∞ , + ∞ ∞ } ∪ ∪ R ) = − − ∞ ∞ {\displaystyle \sup(\varnothing )=\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbf {R} )=-\infty } ,

e

mwvg inf ( ∅ ∅ ) = max ( { − − ∞ ∞ , + ∞ ∞ } ∪ ∪ R ) = + ∞ ∞ {\displaystyle \inf(\varnothing )=\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbf {R} )=+\infty } .

E cioè, il più piccolo maggiorante (sup o mwwaestremo superiore) è mwwq − − ∞ ∞ {\displaystyle -\infty \!\,} , mentre il più grande minorante (inf o mwwgestremo inferiore) è mwww + ∞ ∞ {\displaystyle +\infty \!\,} .

In precedenza si è affermato che l'insieme vuoto ha mwxgzero elementi, o che la sua cardinalità è zero. La connessione tra questi due concetti va oltre: nella mwxwdefinizione astratta di numero naturale lo zero è mwyaper definizione associato all'insieme vuoto, l'uno all'insieme con unico elemento l'insieme vuoto, e così via, in questo modo:

Se mwzaA è un insieme, allora esiste esattamente una mwzqfunzione mwzgf da {} a mwzwA, la mw0afunzione vuota. Di conseguenza, l'insieme vuoto è l'unico oggetto iniziale della mw0gcategoria degli insiemi e delle funzioni.

L'insieme vuoto può essere considerato uno mw1aspazio topologico in un unico modo (definendolo aperto); questo spazio topologico vuoto è l'unico oggetto iniziale nella categoria degli spazi topologici con mw1qfunzioni continue.

cite-note-jeff-11. ↑ mw3gmw3wmw4aEarliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic, su mw4qjeff560.tripod.com.

• L. Cerlienco:mw5q Numeri e poco altro (dispense del corso di Algebra 1, mw5gUniversità di Cagliari), Cap. 1 mw5wElementi di logica matematica e teoria degli insiemi, pp. 1–14. http://matematica.unica.it/fileadmin/documenti/didattica/algebra1.pdf

• mw7wTeoria degli insiemi

• mw8qSottoinsieme

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'insieme vuoto

• citerefenciclopedia-della-matematicainsieme vuoto, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Empty Set, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Empty set, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.